(10)

donde es el elemento de la i-ésima fila y j-ésima columna de la matriz .

Por su parte, el modelo de CCD de Tse y Tsui (2002) incluye las mismas especificaciones para las medias y varianzas condicionales, pero con diferente estructura en la ecuación de la correlación condicional. La matriz de correlación condicional dinámica se calcula en forma recursiva de la siguiente manera:

(11)

donde son parámetros positivos y , lo que garantiza que . es la matriz simétrica positiva definida de parámetros constantes de con para toda i. constituye el promedio ponderado de , y , la cual define a la matriz de correlaciones de que depende de los residuales estandarizados, para .

En consecuencia, las CCD están determinadas por la siguiente expresión:

(12)

donde . La condición es necesaria para garantizar que las matrices cumplan con la característica de positiva definida.

Finalmente, el proceso de estimación de los parámetros y correlaciones condicionales en ambos modelos MGARCH-CCD se lleva cabo mediante el método de cuasi máxima verosimilitud. Con el supuesto de innovaciones normales, las funciones logarítmicas de verosimilitud conjunta para el periodo de la muestra se pueden expresar de la siguiente manera:

(13) (14)

donde es el número de observaciones y representa el vector de parámetros a estimar.

III. Datos y evidencia empírica

1. Descripción de los datos y análisis preliminar

Debido a la importancia del petróleo para la economía nacional, este estudio se centra en el diseño de coberturas cruzadas. Para ello, se hace uso de contratos de futuros sobre petróleo dulce ligero listados en los mercados de futuros de Nueva York y Londres como mecanismo para transferir la exposición al riesgo de precios fluctuantes en el mercado del petróleo mexicano. Los datos empleados en el estudio incluyen los precios diarios físicos de los petróleos Maya, Istmo y Olmeca y los precios diarios de cierre de los futuros del WTI y del Brent. En la construcción de las series de los precios de futuros se adoptó la regla, habitual en la literatura, de utilizar el contrato de futuros con plazo más corto. Asimismo, para evitar los efectos de precios volátiles derivados de la expiración del contrato y la falta de liquidez en el mercado,⁷ el proceso de transición al segundo contrato de futuros con vencimiento más próximo se lleva a cabo una semana antes del último día de operación del contrato de futuros actual. El análisis cubre el periodo del 3 de enero de 2000 al 31 de diciembre de 2013, para un total de 3 605 observaciones. Todas las series financieras se obtuvieron de la base de datos de Bloomberg.

La grafica 1 describe el comportamiento dinámico de los precios físicos de los petróleos Maya, Istmo y Olmeca, y los precios de cierre de los futuros de WTI y Brent en el periodo 2000-2013. En el análisis de la gráfica se observa que los precios en los mercados de contado y de futuros se mueven en la misma dirección y, al mismo tiempo, se muestra una tendencia estocástica común durante el periodo de estudio. Excluyendo la caída de 2001 y el desplome del 15 de julio de 2008, los precios del hidrocarburo han mantenido una prolongada tendencia alcista y episodios de alta volatilidad, particularmente después de la crisis subprime.

Para el análisis de las estrategias de cobertura y su eficiencia, las series de precios son transformadas en series estacionarias a través de la diferencia de los logaritmos del precio actual y el precio previo, es decir, El tamaño de la muestra permite el análisis fuera de la muestra, extrayendo las últimas 778 observaciones de la muestra total. El cuadro 1 muestra las estadísticas básicas y las pruebas de raíz unitaria de las series de precios y rendimientos del petróleo. Los resultados muestran rendimientos promedio relativamente más pequeños que las desviaciones estándar, lo que indica un riesgo relativamente más alto, particularmente para los petróleos Maya e Istmo. Los rendimientos en ambos mercados presentan las características típicas de asimetría negativa y colas anchas como consecuencia del exceso de curtosis. Además, el supuesto de normalidad de la distribución incondicional es rechazado por el estadístico Jarque-Bera para los cinco tipos de petróleo.

La gráfica 2, que muestra el comportamiento de los rendimientos en los mercados físicos y de futuros del petróleo a lo largo del tiempo, evidencia la presencia de fuerte volatilidad en aglomeraciones, esto es, periodos de alta volatilidad seguidos de periodos de relativa tranquilidad. Cabe resaltar que la intensidad del fenómeno de la heterocedasticidad condicional es más pronunciada en los periodos de 2001, 2008-2009 y 2010-2012, durante los cuales todas las series de rendimientos experimentaron una sucesión de movimientos atípicos positivos y negativos en cortos intervalos de tiempo. Además, la presencia de fuerte heterocedasticidad o efectos arch en la volatilidad de los rendimientos del petróleo es sustentada por el valor alto y significativo del estadístico de la prueba del multiplicador de Lagrange (LM) a un nivel de 5% con veinte rezagos. Estos importantes hallazgos sugieren la aplicación de modelos GARCH univariados o multivariados para su apropiada modelación.

En el panel B del cuadro 1 se muestran los resultados de las pruebas de raíz unitaria de Dickey-Fuller y Phillips-Perron para el análisis de la estacionariedad en las series de los mercados de contado y de futuros del petróleo. En ambas, los estadísticos muestran valores no significativos estadísticamente para los logaritmos de los precios de contado y de futuros, pero significativos a un nivel de 1% para las primeras diferencias en todas las series. La existencia de raíz unitaria en los niveles de los precios de contado y de futuros significa que las series no son estacionarias y presentan un comportamiento de paseo aleatorio. Este hallazgo confirma probablemente la existencia de una relación estacionaria lineal entre dos series no estacionarias, es decir, entre los precios de contado y los de futuros.

Para investigar la existencia de relación de cointegración de largo plazo, se aplicó la metodología de Engle y Granger en dos pasos.⁸ En el cuadro 2 se muestran los resultados de la prueba de cointegración entre el logaritmo de los precios físicos y el logaritmo de los precios de futuros. Los parámetros estimados de la prueba de cointegración son estadísticamente significativos e incluso aproximadamente iguales a la unidad para con errores estándar pequeños. La cointegración para cada par de series es confirmada por el valor de los estadísticos de las pruebas de Dickey- Fuller y Phillips-Perron a un nivel de significación de 1%. Esto, debido al hecho de que las series de los residuales son estacionarias o integradas de orden cero, I(0). Estos hallazgos sugieren claramente la necesidad de incorporar el término de corrección de error en las ecuaciones de las medias condicionales de los modelos MGARCH-CCD.

2. Estimación de los modelos MGARCH-CCD

En los cuadros 3 y 4 se proporcionan los resultados estimados de los modelos MGARCH-CCD con término de corrección de error discutidos en la sección previa. En ambos modelos, los coeficientes constantes de las dos ecuaciones de la media condicional son positivos y estadísticamente significativos a un nivel de 1%, con la excepción de las relaciones Olmeca contra WTI y Brent para los rendimientos de los precios físicos. En los tres mercados del petróleo nacional y los dos modelos, los parámetros estimados asociados con el término de corrección de error son positivos y estadísticamente significativos a un nivel de 1%.

En contraste, las desviaciones de corto plazo en la relación de equilibrio tienen un efecto negativo en la mayoría de las ecuaciones de las medias condicionales de los rendimientos de los futuros. La significación sólo es alcanzada en las relaciones Istmo-WTI, Olmeca-WTI y Olmeca-Brent por el modelo MGARCH-CCD de Tse y Tsui, por lo que un incremento en las desviaciones de corto plazo tiende a reducir los cambios en los precios de los futuros, pero que al mismo tiempo incrementa los rendimientos de los precios de contado.

En el caso de las ecuaciones de la varianza condicional, todos los parámetros estimados son estadísticamente significativos a un nivel de 1% en ambos mercados de petróleo. Los valores de los coeficientes GARCH son positivos y oscilan entre 0.8333 y 0.9169 (contado) y entre 0.8789 y 0.9401 (futuros), mientras que los coeficientes arch varían de 0.0610 a 0.1455 (contado) y de 0.0518 a 0.0980 (futuros). Estos hallazgos confirman que las varianzas-covarianzas condicionales y las razones de cobertura óptima presentan un comportamiento cambiante en el tiempo y un alto grado de persistencia debido a que la suma de los términos ARCH y GARCH es menor a uno.

Finalmente, la especificación apropiada de los primeros dos momentos condicionales es validada estadísticamente mediante la correlación serial de ruido blanco. En este sentido, los valores de los estadísticos de la prueba de Ljung-Box indican que no existe correlación serial en los residuos estandarizados simples y cuadrados con 12 rezagos entre los rendimientos de los precios de contado y los de futuros, los cuales también son apoyados por los valores de p que son mayores al nivel de significación de 5%.

3. Estimación de la razón de cobertura cruzada óptima

En esta sección se estiman las razones de cobertura cruzada óptima (RCCO) utilizando las varianzas y covarianzas condicionales estimadas de los dos modelos MGARCH-CCD. En la estimación de las RCCO fuera de la muestra se emplea el periodo del 3 de enero de 2011 al 31 de diciembre de 2013. En este caso, los parámetros de los modelos MGARCH-CCD son reestimados utilizando una ventana móvil de 2 827 observaciones. Este procedimiento consiste en remover la observación más remota y agregar la observación más reciente al periodo de la muestra. Así, el tamaño de ésta se mantiene fijo durante la reestimación de los modelos y las predicciones fuera de la muestra no se traslapan, lo que genera 12 series de tamaño de 778 RCCO estimadas. La ventana móvil diaria es seleccionada en la predicción de las RCCO, porque la estructura volátil y riesgosa del mercado del petróleo requiere del rebalanceo continuo del portafolio de cobertura. Además, la flexibilidad del mercado de futuros permite llevar a cabo esta clase de estrategias, puesto que los participantes pueden cancelar sus posiciones financieras cortas o largas con sólo tomar la posición opuesta.

El comportamiento dinámico de las RCCO estimadas se ilustra en las graficas 3 y 4. En cada ilustración se comparan las estimaciones fuera de la muestra de las RCCO obtenidas por los modelos MGARCH-CCD y el modelo de reversión. Analizando ambas figuras se puede observar que los modelos MGARCH-CCD con corrección de error proporcionan las RCCO más grandes. Además, éstas son más volátiles que las del modelo de reversión en la medida en que las varianzas y covarianzas condicionales cambian con el tiempo en el corto plazo. De hecho, la variación en las RCCO indica que los participantes en los mercados del petróleo nacional deben ajustar de forma continua los portafolios de cobertura para reducir la exposición al riesgo de precios fluctuantes, particularmente para las relaciones Istmo-WTI e Istmo-Brent. Estos hallazgos empíricos muestran el potencial de los modelos MGARCH-CCD en la estimación de las RCCO ante la llegada de nueva información a los mercados. Sin embargo, las especificaciones propuestas tienen algunas desventajas. La primera es que no capturan la asimetría de los impactos positivos y negativos de la misma magnitud o efecto de apalancamiento y la segunda tiene que ver con los cambios de régimen en las volatilidades y correlaciones.

Además, otra característica importante observada en los valores de las RCCO es que mantienen una tendencia positiva durante todo el periodo de análisis, aunque cabe mencionar que no es sorprendente observar que algunas son negativas para ciertos petróleos nacionales. El cambio de signo de positivo a negativo en las RCCO durante el periodo de estimación puede ser causado en gran parte por los desiguales niveles de calidad de los crudos mexicanos con respecto a los marcadores WTI y Brent, excepto el Olmeca. En este sentido, la eficiencia de las estrategias de cobertura cruzada puede disminuir cuando sean petróleos con un alto contenido de azufre⁹ y bajo grado de densidad API (por el American Petroleum Institute),¹⁰ especialmente el Maya. Al analizar las RCCO de los modelos usados se puede apreciar que exhiben patrones similares y la propiedad de reversión a la media con respecto a las RCCO convencionales. Aunque su comportamiento es muy parecido en ambos mercados de futuros, este patrón no necesariamente quiere decir que sus valores sean idénticos en la medida en que nueva información ingresa a los respectivos mercados.

Para un análisis más profundo del desempeño de los modelos MGARCH-CCD y la función de los mercados de futuros en la estimación de las RCCO del petróleo nacional, en el cuadro 5 se reportan los valores promedio, mínimo y máximo estimados por los modelos MGARCH-CCD, de Engle, MGARCH-CCDTT de Tse y Tsui, y de MCO, para su comparación. Los resultados de este último indican que las RCCO son claramente menores a la unidad, en particular para las relaciones Istmo-WTI e Istmo-Brent. Sus valores promedio alcanzados equivalen a 0.3569 y 0.3735, con valores mínimos de 0.2895 y 0.2868 y valores máximos de 0.4156 y 0.4404, respectivamente.

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Este hallazgo empírico revela que el modelo de cobertura convencional no toma en cuenta las diferencias de precios entre los petróleos nacionales y los internacionales, evidentemente originados por las variaciones en los niveles de calidad a través de los múltiples mercados. En este sentido, las estrategias de cobertura cruzada para el petróleo nacional requieren de modelos más sofisticados que capturen apropiadamente las imperfecciones en los mercados que afectan los precios y las RCCO. Por su parte, las RCCO estimadas mediante los modelos de Engle y de Tse y Tsui tienen patrones diferentes y valores más grandes en comparación a los del modelo de cobertura convencional. Considerando el mercado de futuros del WTI como mecanismo de cobertura, el promedio de las RCCO oscila entre 0.6167 y 0.7945, con un valor máximo de entre 1.0276 y 1.4000 y un valor mínimo de entre 0.4217 y 0.4960, en tanto que para el mercado de futuros del Brent, los valores, en el mismo orden, se hallan en los rangos 0.655-0.8414, 1.1214-1.4050 y 0.4187-0.5048. En términos del desempeño de los modelos MGARCH-CCD para el diseño de estrategias de cobertura cruzada fuera de la muestra, los resultados muestran que el modelo de Tse y Tsui proporciona el valor promedio más alto para las RCCO, con la excepción de la relación Olmeca-Brent.

Otro hallazgo importante, es que los valores de las RCCO utilizando cualquier modelo MGARCH-CCD y el contrato de futuros del Brent son mayores a las del contrato de futuros del WTI para cualquier tipo de petróleo nacional. En la práctica real, esto tiene importantes implicaciones económico-financieras, porque una posición larga abierta en el mercado del petróleo nacional requiere mayor número de contratos cuando se cubra a través del mercado de futuros del Brent, que cuando se tome la posición en el mercado de futuros del WTI. Más específicamente, los valores promedio de las RCCO estimadas por el modelo de Engle equivalen a 0.7788 y 0.8414 para las relaciones Olmeca-WTI y Olmeca-Brent, respectivamente. De esta manera, para minimizar los riesgos de la exportación mensual promedio de 99 000 barriles de petróleo Olmeca, el gobierno mexicano requiere negociar aproximadamente 77 y 83 contratos de futuros de WTI y de Brent, respectivamente. Aunque la cobertura cruzada óptima no es posible en ambos mercados, como consecuencia de la estandarización de los contratos de futuros que equivale a mil barriles de petróleo, las operaciones de cobertura realizadas en mercados organizados son generalmente más transparentes y tienen costos de transacción relativamente más bajos, a diferencia de las coberturas a la medida en los mercados OTC.

Algunos factores que pueden explicar mejor los resultados obtenidos se pueden adjudicar a la conversión de tendencia entre los precios de los petróleos de referencia internacional. En 2010-2013, el Brent comenzó a cotizarse en los mercados de energía fósil con una prima adicional con respecto al WTI, a pesar de que sus características fisicoquímicas son de mejor calidad, esto es, densidad de 40 grados API contra 38 y contenido de azufre de 0.24% contra 0.37%. De esta manera, la transición de precios originó diferenciales positivos entre los futuros del Brent y los crudos nacionales, pero negativos respecto a los futuros del WTI en el periodo de análisis fuera de la muestra.¹¹ Al mismo tiempo, la amplitud negativa de los diferenciales afectó la tendencia ascendente de las correlaciones y, por consecuencia, las RCCO, particularmente en periodos de extrema volatilidad.

4. Análisis de los índices eficientes de cobertura

Los índices eficientes de cobertura son analizados en esta sección utilizando las 778 RCCO para evaluar el desempeño de las coberturas cruzadas de mínima varianza cambiantes en el tiempo de los modelos MGARCH-CCD y de MCO. En el procedimiento de estimación se emplea la misma técnica de venta móvil que coadyuva a la actualización de las estimaciones de estos índices. El tamaño de la muestra fija es de 260 observaciones, del 3 de enero al 30 de diciembre de 2011. Las últimas 518 observaciones, que corresponden al lapso del 3 de enero de 2012 al 31 de diciembre de 2013, son usadas para el análisis fuera de la muestra.

En las gráficas 5 y 6 se muestra la evolución de los índices eficientes de cobertura para los modelos MGARCH-CCD, y su comparación con el modelo de MCO para los tres portafolios de cobertura. De manera similar a las RCCO, en ambas gráficas se observa que las fluctuaciones en los índices del modelo de MCO son menos sensibles para responder a cambios en los mercados y, por consecuencia, menos volátiles, a diferencia de los índices de los modelos MGARCH-CCD. Este hecho se refleja más en la relación Maya-Brent, dado que su tendencia comienza a bajar a partir del primer trimestre de 2013, a pesar de que sus RCCO mantienen un comportamiento inverso en el mismo periodo.

Al analizar la tendencia de los índices eficientes de cobertura dinámicos, se puede identificar diferentes características para cada portafolio de cobertura y modelo MGARCH-CCD. Las variaciones en los índices son más notables para las relaciones Maya-WTI y Maya-Brent, debido al hecho de que oscilan en un rango más amplio, entre 10.13%-86.99% (modelo de Engle) y 10.10%-85.35% (modelo de Tse y Tsui), respectivamente. Incluso existen periodos con valores menores a los del modelo de MCO, especialmente durante los últimos tres trimestres de 2013. En general, otra de las características de los índices eficientes de cobertura es que alcanzan valores más altos en los periodos de extrema volatilidad que en los periodos de relativa calma. De hecho, los portafolios de cobertura de las relaciones Olmeca-WTI y Olmeca-Brent observan valores máximos de 92.56% (Tse y Tsui) y 91.04% (Engle), respectivamente. En este tenor, el modelo de Engle muestra el mejor desempeño predictivo cuando utilizamos el mercado de futuros del WTI como mecanismo para transferir el riesgo, excepto para la relación Maya-WTI, 64.91% contra 68.07%.

Para la comparación de la eficiencia de la cobertura cruzada fuera de la muestra en el periodo del 3 de enero de 2012 al 31 de diciembre de 2013, el cuadro 6 reporta las varianzas de los portafolios de cobertura y los índices eficientes de cobertura que representan el promedio de la reducción del riesgo a través de los diferentes modelos y mercados petroleros. Para el de futuros del WTI, las estrategias de cobertura cruzada con MCO proporcionan a los inversionistas del mercado físico del petróleo Maya una reducción en el riesgo de 36.78% para una varianza de 1.3924, en promedio, en tanto que los participantes en los mercados del Istmo y el Olmeca alcanzan una reducción en el riesgo equivalente a 44.46% y 62.11%, con una varianza de 1.3472 y 0.8393, respectivamente.

Resultados similares son obtenidos para el mercado de futuros del Brent, lo que hace evidente el pobre desempeño del modelo de MCO para prevenir el riesgo en el portafolio de cobertura con respecto a las coberturas cruzadas con MGARCH-CCD. En este contexto, el modelo MGARCH-CCD de Engle reduce el riesgo del portafolio hasta en 77.91% (varianza de 0.7709) para la relación Olmeca-WTI, mientras que para las relaciones del WTI con el Istmo y el Maya los valores son de 75.09% (varianza de 0.9585) y 64.91% (varianza de 1.4410), respectivamente. Los resultados para las relaciones del Brent con el Olmeca, el Istmo y el Maya son muy similares: 75.53% (varianza de 0.8028), 71.62% (varianza de 1.0482) y 68.07% (varianza de 1.2488).

Analizando el desempeño del modelo MGARCH-CCD de Tse y Tsui en la reducción del riesgo en el portafolio, los resultados empíricos fuera de la muestra son superiores a los del modelo de MCO en ambos mercados de futuros. Sin embargo, los mejores resultados son alcanzados por el modelo de Engle: 77.91% contra 75.53% del modelo de Tse y Tsui para futuros de WTI en el caso del crudo Olmeca y 75.09% contra 71.62% para futuros del Brent respecto al Istmo. En esta circunstancia es importante destacar la calidad del petróleo nacional para alcanzar una mejor cobertura cruzada a un costo relativamente más bajo.

Para una justificación estadística de los resultados empíricos se analizó el comportamiento dinámico de las varianzas y covarianzas condicionales estimadas fuera de la muestra.¹² El análisis del mercado de futuros del WTI muestra que las varianzas condicionales del modelo de Engle son más volátiles y persistentes, aunque la covarianzas condicionales presentan la frecuencia de fluctuación más alta con respecto a los segundos momentos condicionales en ambos modelos MGARCH-CCD respecto al contrato de futuros del Brent. Estos hallazgos son también sustentados por la alta liquidez del mercado de futuros del WTI, la cual es medida por el creciente interés abierto y los excesivos volúmenes de negociación. Estos factores lo hacen más atractivo y eficiente en el diseño de estrategias de cobertura cruzada para que los productores y los consumidores de petróleo nacional puedan prevenir riesgos.

Conclusiones

El propósito de este trabajo es introducir términos de corrección de error en las ecuaciones de las medias condicionales de dos modelos de correlación condicional dinámica tradicionales. La nueva reparametrización es de gran utilidad para el diseño de coberturas cruzadas dinámicas de varianza mínima y con la ayuda de los mercados de futuros de los petróleos WTI y Brent como mecanismo para transferir la exposición al riesgo de los participantes en los mercados del petróleo mexicano. En el análisis fuera de la muestra, las RCCO estimadas por los modelos MGARCH-CCD presentan un comportamiento similar al de un proceso no estacionario para cada par de mercados, a diferencia de las del modelo de MCO. Esto es, regímenes de frecuencia baja y alta, derivados en gran medida de la evolución dinámica de las varianzas y covarianzas condicionales y las desviaciones de corto plazo entre los precios de contado y futuros del petróleo. Este hallazgo es relevante para los operadores en el mercado del petróleo mexicano, porque el uso de modelos de volatilidad multivariados les permite ajustar apropiadamente sus estrategias de cobertura cruzada de acuerdo con sus necesidades y las condiciones prevalecientes en el mercado. Con respecto al desempeño de los modelos MGARCH-CCD en la eficiencia de la cobertura fuera de la muestra, los resultados empíricos muestran que la administración de la exposición al riesgo en los mercados del petróleo mexicano es relativamente buena.

Esto se atribuye a que las estrategias de cobertura cruzada alcanzan a reducir el riesgo del portafolio, respecto al WTI y el Brent, hasta en 77.91% y 75.53%, para el crudo Olmeca; en 75.09% y 71.62%, para el Istmo, y en 64.91% y 68.07%, para el Maya, mediante el modelo MGARCH-CCD de Engle, cuando la efectividad de cobertura máxima del modelo de MCO, en el caso del Olmeca, es de 62.11% y 57.63%, respectivamente. Finalmente, aunque la cobertura cruzada óptima no es posible en ambos mercados de futuros, los hallazgos empíricos tienen importantes implicaciones económico-financieras para los consumidores y, sobre todo, para las autoridades gubernamentales. El diseño de estrategias de cobertura cruzada más eficientes les permitirá transferir el riesgo de los movimientos adversos en los precios del petróleo mexicano y, al mismo tiempo, fortalecer las finanzas públicas y la competitividad económica del país. Asimismo, este tipo de operaciones serán más transparentes y con bajos costos de transacción, a diferencia de las coberturas en los mercados OTC, que se caracterizan por tener una estructura más peligrosa, agudizada por el riesgo de incumplimiento de las contrapartes.

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